semigrupos

Un semigrupo es una estructura algebraica formada por un conjunto S y una operación binaria ·: S × S → S tal que la operación es cerrada y asociativa: para todos a, b, c en S se verifica (a · b) · c = a · (b · c). No se exige un elemento identidad ni inversos. Si existe un elemento e en S con e · a = a · e = a para todo a, entonces (S, ·) es un monoid; si, además, cada elemento tiene inverso, es un grupo. Si la operación además es conmutativa, se habla de semigrupo conmutativo (o de monoid conmutativo cuando hay identidad).

Ejemplos típicos incluyen los enteros naturales bajo la suma, que forman un monoid, y las cadenas de caracteres sobre un alfabeto con la concatenación, que también forman un monoid con la cadena vacía como identidad. Los enteros con la operación de máximo forman un semigrupo conmutativo; no forman un grupo porque no todos los elementos tienen inversos.

Propiedades y conceptos asociados: un subsemigrupo es un subconjunto cerrado bajo la operación. Los homomorfismos entre semigrupos preservan la operación. En semigrupos se estudian además conceptos como elementos idempotentes (a · a = a) y estructuras derivadas como semigrupos de transformaciones, que consisten en conjuntos de funciones cerrados bajo la composición.

En la teoría de semigrupos, también se analizan ideas como ideales y las relaciones de Green (L, R, H, D y J), que permiten clasificar y estudiar la estructura de semigrupos finitos. El campo combina aspectos puramente algebraicos con aplicaciones en combinatoria, teoría de autómatas y teoría de sistemas dinámicos.