conmutativa

En matemáticas, la conmutativa se refiere a la propiedad de ciertas operaciones binarias de que el resultado no cambia si se intercambian los operandos. Formalmente, una operación binaria * en un conjunto S es conmutativa si para todo a,b en S se cumple a*b = b*a.

Ejemplos comunes: en los números reales, la suma y el producto son conmutativos, es decir, a + b = b + a y a · b = b · a para cualquier a,b. No todas las operaciones lo son: la resta y la división no son conmutativas, ya que a − b ≠ b − a y, en general, a/b ≠ b/a para a y b distintos de cero. En teoría de lenguajes, la concatenación de cadenas no es conmutativa en la mayoría de contextos, ya que “ab” ≠ “ba”.

En estructuras algebraicas, la conmutatividad da lugar a conceptos importantes. Un grupo abeliano es un grupo en el que la operación es conmutativa. Un anillo conmutativo es un anillo en el que la adición siempre es conmutativa y, además, la multiplicación es conmutativa. Si un cuerpo posee una multiplicación conmutativa y cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo, se habla de un cuerpo conmutativo (o simplemente cuerpo). La conmutatividad simplifica el cálculo, facilita la factorización y es una característica central de muchas áreas de la matemática.