asociativas

Asociativas es el plural del adjetivo asociativo en español y se usa para describir operaciones o estructuras que poseen la propiedad de associatividad. Una operación binaria ∗ en un conjunto S se dice que es asociativa si para todos a, b y c en S se cumple (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Esta igualdad permite agrupar de forma arbitraria los elementos en una secuencia sin cambiar el resultado, lo que es fundamental para definir productos de varios elementos sin necesidad de paréntesis.

Ejemplos clásicos: la suma y la multiplicación de números reales son operaciones asociativas: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3). En cambio, la resta y la división no son asociativas: (5 − 3) − 2 ≠ 5 − (3 − 2).

En contextos algebraicos, la asociatividad es parte de la estructura de semigrupos (conjunto cerrado bajo una operación asociativa), de monoides (asociatividad más elemento neutro) y de grupos (asociatividad, identidad e invertibilidad). En álgebra lineal, la multiplicación de matrices es asociativa, lo que facilita el cálculo de productos de varias matrices. En teoría de la computación, la propiedad asociativa permite reducir secuencias de operaciones de manera paralela.

La no conmutatividad, es decir que a ∗ b ≠ b ∗ a, no contradice la asociatividad; existen operaciones que son asociativas pero no conmutativas. La asociatividad también aparece en contextos más abstractos, como en la composición de morfismos en categorías, que es estrictamente asociativa.

Este es un panorama breve de las asociativas y su relevancia en matemáticas y ciencias afines.