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invertibilidad

La invertibilidad es la propiedad de existir un inverso respecto a una operación determinada. En álgebra, un elemento tiene inverso cuando puede deshacer la operación aplicada, y en álgebra lineal se habla de la invertibilidad de una transformación o de una matriz.

En álgebra lineal, una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz B tal que AB

El inverso de A, si existe, es único y se denota como A^{-1}. Sus propiedades incluyen que

La inversa también tiene relevancia fuera de matrices. En un anillo, un elemento es invertible si es

Ejemplos simples muestran que una matriz identidad es invertible, mientras que una matriz con determinante cero

=
BA
=
I,
donde
I
es
la
matriz
identidad.
Esta
situación
es
equivalente
a
varias
condiciones:
que
el
determinante
de
A
sea
distinto
de
cero,
que
el
rango
de
A
sea
igual
a
su
tamaño,
o
que
se
pueda
obtener
la
identidad
mediante
eliminación
gaussiana
o
descomposiciones
LU.
Si
alguna
de
estas
condiciones
falla,
la
matriz
no
es
invertible
y
se
la
llama
singular.
(AB)^{-1}
=
B^{-1}
A^{-1}
para
matrices
invertibles
A
y
B,
y
que
(A^T)^{-1}
=
(A^{-1})^T.
Además,
(A^{-1})^{-1}
=
A.
Estas
relaciones
permiten
manipular
sistemas
lineales
y
transformaciones
de
manera
algebraica
y
numérica.
una
unidad,
y
el
conjunto
de
unidades
forma
un
grupo.
En
funciones,
una
función
tiene
inversa
si
es
biyectiva;
la
inversa
es
otra
función
que
deshace
el
mapeo
original.
no
lo
es.
Limitaciones
incluyen
la
no
existencia
de
inverso
en
objetos
no
cuadrados
o
mal
condicionados.