Zweierkomplement

Zweierkomplement ist eine gängige Kodierung vorzeichenbehafteter Ganzzahlen in digitalen Systemen. Bei einer Wortlänge von n Bits lässt sich der Zahlenbereich von -2^(n-1) bis 2^(n-1)-1 darstellen. Die Darstellung erlaubt einfache Arithmetik, da Addition und Subtraktion im Wesentlichen dieselbe Grundlogik verwenden.

Die Codierung folgt folgenden Regeln: Die Werte von 0 bis 2^(n-1)-1 entsprechen ihren binären Darstellungen. Negative Zahlen werden durch Hinzufügen von 2^n zu ihrem Betrag dargestellt; das heißt, -k (1 ≤ k ≤ 2^(n-1)) ist 2^n - k. Praktische Folge: beispielsweise in 8 Bit ist -1 = 11111111 und -128 = 10000000, während 0 = 00000000 und 127 = 01111111.

Arithmetik: Addition erfolgt modulo 2^n. Überlauf tritt auf, wenn zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen addiert werden und das Ergebnis ein anderes Vorzeichen annimmt. Subtraktion wird durch Addieren des Zweierkomplements des Subtrahenden realisiert. Zur Überlaufbestimmung kann man den Übertrag in das Sign-Bit und den Übertrag aus dem Sign-Bit vergleichen: Unterscheiden sie sich, liegt Überlauf vor.

Vorteile und Anwendungen: Zweierkomplement benötigt nur eine Hardware für das Vorzeichenbit und einfache Addierer, vermeidet separate Subtrahentenlogik und ermöglicht natürliche Sign-Erweiterung bei Breitenveränderungen. Es ist heute Standarddarstellung in CPUs und digitalen Recheneinheiten, wodurch Konvertierung zwischen unsigned und signed regelmäßig keine Umrechnungen erfordert.