Ganzzahlen

Ganzzahlen, symbolisch Z, bezeichnet die Menge aller ganzen Zahlen: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Sie umfasst Negative, Null und Positive. In vielen Kontexten wird N als nichtnegative Teilmenge von Z verstanden, sodass Z die natürliche Erweiterung von N bildet. Beispiele: -5, 0, 42.

Algebraisch besitzen die Ganzzahlen mehrere grundlegende Strukturen: Unter Addition bilden sie eine abelsche Gruppe mit Null als Identität und jedem a als additives Inverse -a. Unter Multiplikation ergeben sie einen kommutativen Ring mit Eins; die Verteilung gilt. Die einzigen Einheiten sind ±1, daher besitzt jedes Element nur dann einen multiplikativen Inversen in Z, wenn es ±1 ist. Division im Allgemeinen führt außerhalb von Z; Brüche sind nicht Elemente von Z.

Z ist eine Teilmenge von Q, R und C; jede ganze Zahl ist rational, aber nicht jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl. Die Ordnung von Z ist diskret auf der reellen Zahlenlinie und Z ist unendlich abzählbar. Bezugsgrößen in der Zahlentheorie wie der größte gemeinsame Teiler und die Bezoutsche Identität gelten: Es existieren x, y mit ax+by = gcd(a,b). Zudem ist Z ein Hauptidealring (PID) und ein Euclidischer Ring, was einzigartige Faktorisierung und weitere Strukturmerkmale ermöglicht.