multiplikativen

Multiplikativ beschreibt in der Mathematik eine Eigenschaft von Funktionen, insbesondere arithmetischen Funktionen, bei der das Funktionswert auf einem Produkt von Zahlen aus der Zerlegung in Primfaktoren bestimmt wird. In der Zahlentheorie bedeutet dies oft, dass f(ab) durch f(a) und f(b) bestimmt wird, wenn a und b bestimmte Beziehungen zueinander haben.

Definition: Eine Funktion f: N → C heißt multiplikativ, wenn f(1) = 1 gilt und f(mn) = f(m) f(n) gilt, sofern gcd(m,n) = 1. Eine Funktion ist vollständig multiplikativ (auch vollkommen multiplikativ), wenn f(mn) = f(m) f(n) für alle m,n gilt, ohne Einschränkung.

Beispiele: Die Identitätsfunktion id(n) = n ist vollständig multiplikativ. Die konstante Funktion 1 ist ebenfalls vollständig multiplikativ. Die Möbiusfunktion mu(n) ist multiplikativ, aber nicht vollständig multiplikativ. Die Euler-Totient-Funktion phi(n) ist multiplikativ, ebenso die Divisoranzahl tau(n); beide sind jedoch nicht vollständig multiplikativ.

Folgen und Anwendungen: Multiplikativität bedeutet oft, dass viele arithmetische Funktionen durch ihre Werte an Primpotenzen vollständig bestimmt werden. Dirichletreihen f(n)/n^s lassen sich durch ein Eulerprodukt darstellen: F(s) = ∑ f(n)/n^s = ∏ p ∑_{k≥0} f(p^k)/p^{ks}. Für vollständig multiplikative Funktionen wird dieses Produkt noch einfacher zu F(s) = ∏ p 1/(1 − f(p)/p^s). Multiplikativität erhält sich unter Dirichlet-Faltung, was sie zu einem zentralen Konzept in der analytischen Zahltheorie macht.

Allgemeiner Kontext: Der Begriff lässt sich auf Funktionen auf beliebigen Monoidstrukturen erweitern und dient als Homomorphismus in entsprechenden algebraischen Kontexten.