Zustandsverläufe

Zustandsverläufe bezeichnet in der Systemtheorie die zeitliche Entwicklung der Zustandsvariablen eines Modells. Sie schildern, wie sich der Zustand eines Systems unter dem Einfluss von Dynamik, Eingaben und Anfangsbedingungen über die Zeit verändert. Zustandsverläufe dienen der Analyse, Steuerung und Vorhersage des Verhaltens komplexer Systeme.

Formal werden Zustandsverläufe durch den Zustandsvektor x(t) beschrieben. In kontinuierlichen Systemen gilt typischerweise dx/dt = f(x(t), u(t), t) mit einer Anfangsbedingung x(0) = x0; der Trajektorienverlauf ist die Funktion t ↦ x(t). In diskreten Systemen ergibt sich x_{k+1} = g(x_k, u_k, k). Eine solche Trajektorie, der Graph der zeitlichen Entwicklung der Zustände, heißt Zustandsverlauf oder Trajektorie.

Der Begriff unterscheidet zwischen deterministischen Verläufen, die eindeutig durch die Modelle und Anfangsbedingungen festgelegt sind, und stochastischen Verläufen, bei denen Zufallseffekte eine Rolle spielen. In stochastischen Modellen wird oft die Verteilung oder eine Wahrscheinlichkeitsmenge von Trajektorien beschrieben (z. B. durch Markovprozesse).

Wichtige Eigenschaften von Zustandsverläufen sind Stabilität, Gleichgewichtslinien, Attraktoren, Grenzverläufe und, bei periodischer Dynamik, Grenzbahnen oder Limitzyklen. Phasenräume und Phasenporträts helfen, das langfristige Verhalten zu visualisieren.

Anwendungsgebiete reichen von Physik, Technik und Chemie bis hin zu Biologie, Ökonomie und Ökologie. Typische Beispiele sind das frei schwingende Pendel, ein elektrischer Schwingkreis, Reaktionsnetzwerke oder epidemiologische Modelle; in allen Fällen dient der Zustand der Beschreibung der Dynamik und der Planung von Eingriffen oder Kontrollen.