Zeitschrittgröße

Die Zeitschrittgröße, im Fachjargon oft als Δt bezeichnet, ist das diskrete Zeitintervall, mit dem die zeitliche Entwicklung von Modellen abgebildet wird. In der Numerik werden zeitabhängige Gleichungen wie gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) oder partielle Differentialgleichungen (PDEs) durch eine Folge von Zeitpunkten t_n = n Δt angenähert. Die Wahl von Δt bestimmt Auflösung, Genauigkeit und Rechenaufwand der Simulation.

Die Größe Δt beeinflusst maßgeblich die Fehlerbildung eines Verfahrens. Für ein Verfahren mit Ordnung p verhält sich der globale Fehler typischerweise wie O(Δt^p). Kleinere Δt erhöhen die Genauigkeit, bedeuten aber mehr Rechenschritte. Viele numerische Solver verwenden adaptive Zeitschrittweitensteuerung, die Δt automatisch an eine gewünschte Fehlertoleranz anpasst, um Effizienz und Stabilität zu optimieren.

Stabilität spielt besonders bei zeitabhängigen PDEs eine zentrale Rolle. Explizite Verfahren haben oft feste Stabilitätsgrenzen: Δt muss ausreichend klein im Verhältnis zur räumlichen Diskretisierung und zu charakteristischen Geschwindigkeiten sein (CFL-Bedingung). Bei steifen Gleichungen oder komplexen Systeme sind implicit oder semi-implicit Verfahren vorteilhaft, da sie größere Δt zulassen, allerdings pro Schritt eine Lösung eines Gleichungssystems erfordern.

Praktisch wird Δt oft durch eine Mischung aus physikalischer Skala, gewünschter Genauigkeit und verfügbaren Rechenressourcen festgelegt. Typische Beispiele für Verfahren, die Δt verwenden, sind das Euler-Verfahren oder Runge-Kutta-Verfahren, teils mit adaptiver Schrittweitensteuerung zur Balance von Stabilität, Genauigkeit und Aufwand.