Zeitdiskretisierung

Zeitdiskretisierung bezeichnet in der Numerik die Ersetzung der kontinuierlichen Zeitvariable durch eine diskrete Abfolge von Zeitschritten. Typischerweise wird t_k = t_0 + k h eingeführt, wobei h der Zeitabstand zwischen den Stufen ist. Ziel ist es, zeitabhängige Modelle, die als Differentialgleichungen vorliegen, numerisch zu lösen, indem man die Ableitungen durch Differenzen ersetzt.

Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung dy/dt = f(y,t) mit Anfangsbedingung y(t_0) wird durch Zeitdiskretisierung eine Rekursion geschaffen, die den Folgezustand y_{k+1} aus dem aktuellen y_k ableitet. Beispiele: Forward Euler: y_{k+1} = y_k + h f(y_k,t_k). Backward Euler: y_{k+1} = y_k + h f(y_{k+1},t_{k+1}) (erfordert eine Gleichung, die gelöst werden muss, oft mittels Newton-Verfahren).

Höhere Ordnung: Runge-Kutta-Verfahren (z. B. RK4) liefern höhere Genauigkeit pro Zeitschritt, während Mehrschritt-Verfahren wie Adams-Bashforth/Adams-Moulton oft weniger Fließkommaoperationen pro Schritt benötigen. Die Wahl hängt von Anforderungen an Genauigkeit, Stabilität und Rechenaufwand ab.

Stabilität und Fehler: Der Schritt h beeinflusst Stabilität und Konvergenz. Explizite Methoden können bei großen h für steife Systeme instabil werden; Implizite Methoden bieten oft bessere Stabilität. Der lokale Truncation-Fehler liegt typischerweise in O(h^{p+1}) und der globale Fehler in O(h^{p}). Unter Annahmen zu Konsistenz und Stabilität konvergiert die diskrete Lösung gegen die kontinuierliche Lösung, wenn h→0.

Anwendungsbereiche: Zeitdiskretisierung ist zentral in der Simulation dynamischer Systeme, der Regelungstechnik, numerischer Physik und in der digitalen Signalverarbeitung. In partiellen Differentialgleichungen wird oft zuerst eine räumliche Diskretisierung vorgenommen (Methode der Merkmale, Finite-Differenzen, Finite-Elemente), anschließend erfolgt die zeitliche Diskretisierung.