Winkelverteilungen

Winkelverteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Winkeln, die aus zufälligen Richtungen, Vektoren oder Punkten entstehen. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Richtungsstatistik, Geometrie und Monte-Carlo-Simulationen, wo man oft Winkel zwischen Vektoren oder Linien misst.

In der Ebene (Dimension 2) zwischen zwei unabhängigen, gleichverteilten Richtungen ist der Winkel θ zwischen ihnen uniform auf dem Intervall von 0 bis π. Genauer gilt eine Gleichverteilung f(θ) = 1/π für θ ∈ [0, π]. Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Transformation der Differenz zweier unabhängiger Winkel, die selbst uniform verteilt sind.

In höheren Dimensionen (R^n, n ≥ 3) verläuft die Verteilung des Winkels zwischen zwei zufälligen Einheitsvektoren anders. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Winkels θ ∈ [0, π] ist proportional zu sin^{n−2}(θ). Die normative Form lautet f(θ) = sin^{n−2}(θ) / ∫_0^π sin^{n−2}(t) dt, wobei der Normalisierungsfaktor über eine Beta-Funktion gegeben ist. Mit zunehmender Dimension verschiebt sich der Schwerpunkt der Verteilung in Richtung näherer Winkelwerte zum π/2.

Verwandte Konzepte umfassen Verteilungen auf der Sphäre (etwa Fisher–von Mises, Watson), die sich mit Richtungen statt Winkeln beschäftigen. Typische Anwendungen finden sich in der Robotik, Bildverarbeitung, Physik und Statistik, wo man Hypothesen über Richtungen oder Orientierungen prüft.