Einheitsvektoren

Einheitsvektoren sind Vektoren der Länge 1, die zur Angabe von Richtungen in einem Vektorraum dienen. Sie geben die Orientierung eines Vektors unabhängig von dessen Betrag wieder. Für jeden Nicht-Null-Vektor v lässt sich der Einheitsvektor in dessen Richtung durch u = v / ||v|| bestimmen; man spricht von der Normalisierung eines Vektors.

Im zweidimensionalen Raum R^2 verwendet man häufig die Standardbasisvektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1). Im dreidimensionalen Raum R^3 ergänzt man sie durch e3 = (0, 0, 1). Diese Basisvektoren haben die Eigenschaften ||ei|| = 1 und ei · ej = 0 für i ≠ j, sie bilden eine Orth-normalbasis. Allgemein spricht man in R^n von der Einheitsbasis e1, …, en. Jedes Vektor v = (x1, …, xn) lässt sich als v = ∑ xi ei schreiben, und bei v = ||v|| u gilt u als Einheitsvektor in Richtung von v.

Beziehungen und Anwendungen: Für zwei Einheitsvektoren u und w gilt cos θ = u · w, wobei θ der Winkel zwischen ihnen ist. Die Komponenten eines Einheitsvektors entsprechen den Richtungscosinus mit den Achsen. Einheitsvektoren finden breite Anwendung in Physik, Ingenieurwesen und Informatik, um Richtungen unabhängig von Größenordnungen darzustellen und Vektoren zu normieren.