gleichverteilten

Gleichverteilung, auch als Uniformverteilung bezeichnet, beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle zulässigen Ergebnisse eines Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich sind. Der Begriff wird oft in der Form gleichverteilte Zufallsvariable verwendet, wenn mehrere Variablen dieselbe Verteilung haben undzustätzlich unabhängig sind.

Es gibt zwei Hauptformen der Gleichverteilung. Die stetige Gleichverteilung gilt für ein Intervall [a,b]. Die Zufallsvariable X hat dann eine Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = 1/(b-a) für x im Intervall, und F(x) = (x-a)/(b-a) für a ≤ x ≤ b. Erwartungswert und Varianz lauten E[X] = (a+b)/2 und Var(X) = (b-a)²/12. Die stetige Gleichverteilung wird häufig mit X ~ U(a,b) notiert.

Die diskrete Gleichverteilung tritt auf, wenn X auf einer endlichen Menge von Werten mit gleicher Wahrscheinlichkeit liegt, etwa X ~ Uniform{a, a+1, ..., b}. Dann P(X=x) = 1/n mit n = b-a+1. Für eine Folge von n aufsteigenden ganzzahligen Werten ist E[X] = (a+b)/2 und Var(X) = (n²-1)/12 (bei der Standardformierung mit {1,...,n} gilt E[X] = (n+1)/2 und Var(X) = (n²-1)/12).

Anwendungsgebiete umfassen Zufallszahlengeneratoren, Monte-Carlo-Simulationen, statistische Stichprobenplanung und theoretische Modelle, in denen alle möglichen Ergebnisse gleichermaßen wahrscheinlich sein sollen. In der Praxis dient die Gleichverteilung oft als Referenzverteilung oder als Annahme, die zu prüfen oder zu ersetzen ist, wenn reale Daten Abweichungen zeigen.

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