Wienerprozess

Wienerprozess, auch als standard Brown’sche Bewegung bezeichnet, ist ein kontinuierlicher stochastischer Prozess W(t) mit W(0) = 0, der fast sicher stetige Pfade besitzt und über disjunkten Intervallen unabhängige, stationäre Zuwächse hat. Für 0 ≤ s < t gilt W(t) − W(s) ∼ N(0, t − s). Die Verteilung von W(t) ist W(t) ∼ N(0, t) und die Kovarianzfunktion E[W(s)W(t)] = min(s, t). Der Prozess dient als Grundmodell zufälliger Bewegungen in der Zeit.

Eigenschaften dieses Prozesses umfassen Gaussität (alle endlichen Vektor-Verteilungen sind multivariate Normalverteilungen), Martingal-Eigenschaft (E[W(t)] = 0) und die Zugehörigkeit zur Klasse der Lévy-Prozesse sowie zum Markovprozess. Die Pfade sind fast sicher stetig, aber fast sicher unbestimmt differentiierbar, was die Modellierung kontinuierlicher, unvorhersagbarer Bewegungen erleichtert.

Konstruktion und mathematische Formalisierung erfolgen häufig über Grenzwertdiskretisierungen oder stochastische Integrale. Eine gängige Konstruktion nutzt den Grenzwert eines skalierten einfachen Zufallswegs: ZK i.i.d. Normal(0, 1) und S_n(t) = (1/√n) ∑_{k=1}^{⌊nt⌋} Z_k, wobei S_n(t) gegen W(t) konvergiert. Alternativ lässt sich W(t) formal als Stochastic-Integral-Darstellung W(t) = ∫_0^t dW_s interpretieren.

Anwendungen finden sich vor allem in der Finanzmathematik (Beispiel Black-Scholes-Modell, Stochastische Differentialgleichungen), in der Physik als Modell der Brownschen Molekularbewegung sowie in der Biologie und Technik, wo zufällige Einflüsse zeitkontinuierlich beschrieben werden. Der Wienerprozess dient darüber hinaus als zentraler Baustein der Itô-Kalkül und der stochastischen Analysis.