Wellenfunktionen

Wellenfunktionen sind zentrale Objekte der Quantenmechanik. Eine Wellenfunktion ψ beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems und ist eine komplexwertige Funktion der Raumkoordinaten und der Zeit. Ihr Betragsquadrat |ψ(x,t)|^2 ergibt die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an der Stelle x zu finden (Born-Regel). Die Normierung verlangt ∫|ψ|^2 dx = 1, bzw. in drei Dimensionen ∫|ψ|^2 d^3x = 1.

Die Zeitentwicklung erfolgt durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung iħ ∂ψ/∂t = H ψ, wobei H der Hamiltonoperator ist. Stationäre Zustände erfüllen H ψ_n = E_n ψ_n und tragen eine zeitliche Phase e^{-iE_n t/ħ}. Allgemein gilt das Superpositionsprinzip: Jedes gültige ψ ist eine Linearkombination von Eigenzuständen.

Observablen A werden durch Operatoren beschrieben; Erwartungswerte ergeben sich aus ⟨A⟩ = ∫ ψ^*(x) (A ψ)(x) dx. Die Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse folgen aus der Born-Regel; nach einer Messung kann das System in einen Eigenzustand übergehen (Kollaps). Die physikalischen Vorhersagen hängen jedoch nur von ψ und seinen Relationen ab, unabhängig von der Interpretation.

Bei Mehrteilchen-Systemen liegen Wellenfunktionen im Konfigurationsraum der Teilchen. Für identische Teilchen gelten Symmetriegesetze: Bosonen besitzen symmetrische, Fermonen antisymmetrische Wellenfunktionen unter Austausch. Spin wird durch zusätzliche Dimensionen oder Spinorstrukturen berücksichtigt; Entanglement kann die Wellenfunktion untrennbar machen.

Beispiele umfassen plane Wellen des freien Teilchens, den Teilchen im Kasten, den harmonischen Oszillator und das Wasserstoffatom. Globale Phasen sind physikalisch unbeeinflussend; relevante Größen sind |ψ|^2 und Interferenzmuster. Wellenfunktionen verknüpfen Theorie und Experiment in der Quantenmechanik.