Wartefunktionen

Wartefunktionen ist ein Begriff aus der angewandten Stochastik und bezieht sich auf Funktionen, die die Wartezeit bis zum Eintreten eines bestimmten Ereignisses modellieren. Typische Formen sind die Verteilungsfunktion F(t) = P(T ≤ t) und die Überlebens- oder Rest-Wartungsfunktion S(t) = P(T > t) des Zufallsvariablen T, die die Wartezeit darstellt. Die Wartezeit kann sich auf Ankünfte, Ausfälle, Reparaturen oder andere Ereignisse beziehen.

Zu den weiteren zentralen Größen gehören die Dichte f(t) = F'(t) (falls existierend) und die Hazard-Funktion h(t) = f(t)/S(t), die die instantane Ausfallrate beschrieben, sofern sinnvoll definiert. Wichtige Kennwerte sind das Erwartungswert E[T], die Varianz Var(T) und verschiedene Quantile, die das Risikoniveau oder die Serviceziele charakterisieren.

In der Warteschlangentheorie werden Wartefunktionen häufig als Verteilungen der Wartezeit in Systemen verwendet, z. B. Wq für die Wartezeit in der Warteschlange oder W für die Gesamtwartezeit im System. Die Form dieser Funktionen hängt stark von dem betrachteten Modell ab, etwa von dem Ankunftsprozess (Poisson, Renewal) und der Verteilung der Servicezeiten. Analytische Ergebnisse existieren für Modelle wie M/M/1 und M/G/1, oft über die Pollaczek–Khinchine-Formel oder Transformationsmethoden.

Berechnung und Anwendung erfolgen typischerweise durch Laplace- oder Z-Transformationen, Renewal-Theorie oder Simulation. Wartefunktionen dienen der Ressourcenplanung, Festlegung von Servicelevels, Risikobewertung und Optimierung von Betriebsprozessen. Verwandte Begriffe sind Verteilungsfunktion, Überlebensfunktion, Hazard-Funktion und Wartezeit.