Wahrscheinlichkeitskriterien

Wahrscheinlichkeitskriterien beziehen sich auf die Bedingungen und Maßstäbe, nach denen Wahrscheinlichkeiten oder Wahrscheinlichkeitsverteilungen bewertet und als gültig anerkannt werden. In der Wahrscheinlichkeitstheorie dienen sie dazu, mathematische Modelle konsistent zu definieren und zu prüfen, ob Zuweisungen von Wahrscheinlichkeiten sinnvoll sind. In der Statistik werden sie auch als Kriterien verwendet, um Modelle oder Hypothesen zu bewerten, oft auf Basis von Wahrscheinlichkeitsmaßen wie der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, der Likelihood oder Bayes-Faktoren.

Die formell wichtigsten Kriterien ergeben sich aus den Kolmogorov-Axiomen: Nicht-Negativität, das heißt P(A) ≥ 0 für jedes Ereignis A; Normalisierung, P(Ω) = 1; Abzählbare Additivität, P(A1 ∪ A2 ∪ ...) = Summe P(Ai) für paarweise disjunkte Ereignisse. Diese Axiome definieren eine Wahrscheinlichkeitsmessung auf einer σ-Algebra von Ereignissen und gewährleisten konsistentes Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. In der Praxis bilden sie die Grundlage jeder mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Alternativ werden Wahrscheinlichkeitszuweisungen durch das Konzept der Kohärenz geprüft, wie es De Finetti formulierte: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darf keine zulässigen Querschüsse, also Dutch Books, ermöglichen. In der subjektiven Wahrscheinlichkeitstheorie gilt, dass Wahrscheinlichkeiten rational konsistent sein müssen, auch wenn sie nicht eindeutig durch Frequenzen bestimmt werden.

Praktische Anwendungen umfassen die Modellbewertung und Entscheidungsfindung, etwa mit Bayes-Faktoren, Likelihoods und anderen Entscheidungsregeln; ferner dienen Wahrscheinlichkeitskriterien als Grundlage für statistische Inferenz, Schätzungen und Vorhersagen. Historisch legten Kolmogorov 1933 die formale Grundlage fest, während die Kohärenzidee von De Finetti stammt.