Wahrheitszuordnung

Wahrheitszuordnung bezeichnet in der Logik und Semantik eine Abbildung, die jeder Aussage oder Formel einen Wahrheitswert zuweist, typischerweise wahr oder falsch. In der propositionalen Logik wird dafür häufig eine Bewertungsfunktion verwendet, die jeder atomaren Proposition p aus der Sprache den Wert wahr oder falsch zuordnet. Die Wahrheit einer komplexeren Formel wird dann rekursiv aus den Wahrheitswerten der Teilaussagen mittels der logischen Verknüpfungen bestimmt: Zum Beispiel ist v(¬A) das logische Gegenteil von v(A), v(A ∧ B) wahr nur, wenn sowohl v(A) als auch v(B) wahr sind, v(A ∨ B) ist wahr, wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist, und v(A → B) ist falsch nur im Fall, dass v(A) wahr und v(B) falsch ist. Eine vollständige Wahrheitszuordnung liefert damit eine Belegung der gesamten Formel mit wahr oder falsch und dient zur Prüfung von Tautologien, Widerspruchsfreiheit (Satisfiabilität) und logischer Folgerung.

In der Prädikatenlogik geht man von Modellen M und einer Belegung für die freien Variablen aus; die Wahrheit einer Aussage hängt dann vom Modell sowie der Variablenzuordnung ab. In der Kripke-Semantik für Modal- bzw. temporale Logik wird die Wahrheit relativ zu Welten bzw. Zeitpunkten durch eine geeignete Bewertungsfunktion bestimmt. Allgemein dient die Wahrheitszuordnung der formalen Semantik als Brücke zwischen syntaktischen Ausdrücken und ihrer Bedeutung.

Historisch spielt die Wahrheitszuordnung eine zentrale Rolle in der Entwicklung der Semantik, Modelltheorie und der Begründung logischer Systeme. Im Kern steht das Verhältnis zwischen Formeln, Interpretationen und den durch sie bestimmten Wahrheitswerten.