Verzamelstelsels

Verzamelstelsels, in de wiskunde vaak 'set systems', zijn verzamelingen van verzamelingen die deel uitmaken van een grotere basisverzameling U. Een verzamelstelsel F is dus een verzameling van subsets van U.

De elementen van F zijn op zichzelf ook verzamelingen. We beschouwen F doorgaans als een subverzameling van het machtset van U, P(U). In dit kader bestaan de leden van F uit verschillende subsets van U.

Voorbeelden: de machtset P(U) zelf is een verzamelstelsel; de verzameling van alle eindige subsets van N; de verzameling van alle open verzamelingen in een topologische ruimte. Deze voorbeelden illustreren hoe een verzamelstelsel een georganiseerde familie van subsets kan zijn.

Eigenschappen en types: een verzamelstelsel kan gesloten zijn onder unie, doorsnede of complement ten opzichte van U. Als F gesloten is onder unie en complement, spreken we van een algebra van verzamelingen; als zij ook gesloten is onder telbare unies, heet het een σ-stelsel (σ-algebra). Een topologie is bijvoorbeeld een specifiek type verzamelstelsel dat voldoet aan aanvullende axioma’s over openheid.

Toepassingen: verzamelstelsels komen voor in combinatoriek, meetleer en probabiliteit, waar ze worden gebruikt om structuren zoals topologieën, algebras van verzamelingen en σ-algebras te definiëren en te bestuderen. Ze vormen ook de taal waarin men families van gebeurtenissen, meetbare sets en hypergrafische structuren beschrijft.