basisverzameling

Basisverzameling is een term uit de wiskunde die in twee belangrijke contexten voorkomt: lineaire algebra en topologie. In de lineaire algebra verwijst een basisverzameling naar een verzameling vectoren die een vectorruimte volledig spant en lineair onafhankelijk is. Als B een basisverzameling van een vectorruimte V over een veld F is, dan geldt dat elke vector in V uniek kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de vectoren uit B, en het aantal elementen van B is de dimensie van V. Alle bases van een gegeven eindig-dimensionale ruimte hebben dus hetzelfde aantal elementen.

In de topologie is een basisverzameling een verzameling B van open verzamelingen die als bouwstenen dient voor een gegeven topologie op een verzameling X. Een familie B is een basis als (i) voor elk punt x in X er een basislid B met x ∈ B, en (ii) als x ∈ B1 ∩ B2 met B1, B2 ∈ B, dan bestaat er B3 ∈ B met x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2. De topologie wordt dan gegenereerd door alle unies van elementen van B. Basisverzamelingen voor een topologie zijn niet uniek; verschillende basissen kunnen dezelfde topologie opleveren. Een bekend voorbeeld is de standaardtopologie op de reële getallen, gegenereerd door alle open intervallen (a,b).

Samengevat dient een basisverzameling als fundament voor de structuur waarop zij werkt: in vectorruimten bepaalt zij de dimensie en coördinaten, terwijl zij in topologie de open sets bepaalt via unies en intersecties.