Vertrauensbereichs

Vertrauensbereichs, in der Fachsprache meist als Vertrauensbereich bezeichnet, bezieht sich auf einen Bereich im Parameterraum, in dem ein lokales Modell der Zielfunktion als zuverlässig gilt. In der mathematischen Optimierung werden Vertrauensbereichsverfahren eingesetzt, um iterativ eine Minimierung zu steuern, indem erwartet wird, dass das Modell die wahren Funktionswerte nahe dem aktuellen Punkt gut approximiert.

Vertrauensbereichsverfahren arbeiten typischerweise mit einem Modell m_k(s) der Zielfunktion f, der um den aktuellen Punkt x_k gilt: m_k(s) = f(x_k) + g_k^T s + 1/2 s^T B_k s, wobei g_k der Gradient und B_k eine Näherung der Hesse-Matrix ist. Es wird ein Subproblem gelöst: min m_k(s) unter der Nebenbedingung ||s|| ≤ Δ_k, dem Vertrauensbereich mit Radius Δ_k. Nach der Berechnung wird der Schritt s_k überprüft durch die Übereinstimmung Rho_k = (f(x_k) - f(x_k + s_k)) / (f(x_k) - m_k(s_k)). Diese Kennzahl vergleicht die tatsächliche Funktionsreduktion mit der vorhergesagten Reduktion. Je nach Wert von Rho_k werden der Schritt übernommen oder verworfen und der Radius Δ_k angepasst (z. B. Erhöhung bei gutem ρ_k, Verringerung bei schlechtem ρ_k).

Vertrauensbereichsverfahren unterscheiden sich von reinen Liniensuchverfahren, indem sie den Schritt in einem mehrdimensionalen Bereich beschränken und so robuster gegen schlechte Modellannahmen sind. Typische Lösungsverfahren für das Subproblem sind Dogleg-Strategien, konjugierte Gradient-Verfahren im Verkleinerungsmodus oder direkte Newton-Schritt-Ansätze. Anwendungen finden sich in der nichtlinearen Ausgleichsrechnung, großen uneingeschränkten Optimierungsproblemen und in Methoden der numerischen Optimierung.