VektorbundelMorphismus

Vektorbundel-Morphismus ist in der Mathematik die Abbildung zwischen Vektorbundeln, die die Struktur der Basen respektiert und die Fasern linear abbildet. Formell besteht ein Vektorbundel-Morphismus aus einem Paar (φ, f), wobei E→M und F→N zwei Vektorbundel über den glatten Mannigfaltigkeiten M bzw. N sind, f:M→N eine glatte Karte und φ:E→F eine glatte Abbildung der totalen Räume, so dass πF∘φ = f∘πE gilt und für jedes x∈M die Restriktion φx:E_x→F_{f(x)} linear ist. Ein Morphismus über identischer Basis bedeutet f = idM und φ ist in jedem Fiber linear.

Local representation und Beispiele: In einer lokalen Trivialisation von E und F über U⊂M lässt sich φ durch eine Matrixvaluierte Funktion Φ:U→Hom(ℝ^r,ℝ^s) darstellen, deren Einträge glatt sind. Typische Beispiele sind der Nullmorphismus, die Identität (mit f=id_M), Inklusion einer Unterbundel S⊂E als Morphismus i:S→E über id_M oder Projektion von E auf einen Quotientenbundel Q als Morphismus E→Q. Wählt man als Basis f:M→N eine nichttriviale Karte, erhält man Morphismen von E nach F, die den Basiswechsel berücksichtigen.

Kategorie und weitere Strukturen: Die Vektorbundel über derselben Basis M bilden eine Kategorie; Morphismen über id_M sind die üblichen Bündelabbildungen. Allgemein kann ein Morphismus auch über eine Basisabbildung f:M→N gedacht werden. Ist φ fiberweise bijektiv und besitzt eine glatte Inverse, dann ist φ ein Bündelisomorphismus (Automorphismus, falls E=F und M=N).

Kern, Bild und Anwendungen: Für φ:E→F über id_M ist der Kern ker φ = {v∈E_x | φ_x(v)=0} in vielen Fällen eine Untersubbundel von E bei gleichbleibender Rangbedingung; das Bild φ(E) ist ein Untersubbundel von F unter entsprechenden Regularitätsbedingungen. Vektorbundel-Morphismen sind grundlegende Bausteine in Geometrie, Gauge-Theorie und der Theorie der Verbindungen, sowie beim Ziehen von Bündeln über Abbildungen (Pullback). See also: Verbindungen, Pullback-Bundel, Hom-Bundel, Tensorprodukte.