Vektorbundeln

Vektorbundeln sind fundamentale Objekte der Differentialgeometrie und Topologie. Ein Vektorbundel E über einer Mannigfaltigkeit M besteht aus einer Gesamtraum E, einer Basismannigfaltigkeit M, einer Projektion π: E → M und einer typischen Faser V, einem Vektorraum über dem Grundkörper K (üblicherweise ℝ oder ℂ). Für jeden Punkt p ∈ M liegt in E die Faser E_p = π^{-1}(p), die eindeutig zu V isomorph ist. Zusammen mit der Projektion bilden E und M eine Faserung mit zusammenhängenden Fasern.

Lokale Trivialität bedeutet, dass es für jeden Punkt p ∈ M eine offene Umgebung U ⊆ M und eine Diffeomorphismus φ: π^{-1}(U) → U × V gibt, sodass π = proj_U ∘ φ und φ die Faser über jedem q ∈ U auf {q} × V abbildet. Ein Vektorbundel wird je nach Struktur als glattes (C∞) Vektorbundel, komplexes Vektorbundel oder holomorphes Vektorbundel bezeichnet. Der Rang des Bundels ist die Dimension der typischen Faser; er ist lokal konstant.

Beispiele sind der Tangentialbundel TM, der Bikern-Tangentbundel T*M (Kovektoren), sowie triviale Bundel M × V. Bei komplexen Vektorbundeln spielen Chern-Klassen eine zentrale Rolle; allgemein liefern charakteristische Klassen invariant- wie topologische Eigenschaften. Weitere Operationen umfassen den direkten Summen- (Whitney-Summe), Tensorprodukt- und Dualbundel. Übergangsfunktionen g_{αβ}: U_α ∩ U_β → GL(V) beschreiben die Veränderung der Lokaltrivialisationen und ermöglichen das Zusammennähen der lokalen Diagramme.

Morphismen von Vektorbundeln umfassen Bündelabbildungen, die über M kommutieren. Eine Sektion ist eine Abbildung s: M → E mit π ∘ s = id_M und bildet eine Modulstruktur über C∞(M). Verbindungen (Kovariantableitungen) auf glatten Vektorbundeln ermöglichen das Paralleltransport-Konzept und die Definition von Krümmung.