Unterstützungsfunktionen

Unterstützungsfunktionen, im Englischen als support function bezeichnet, sind ein zentrales Werkzeug der konvexen Analysis. Für eine nichtleere Teilmenge K von R^n definiert man die Unterstützungsfunktion h_K als h_K(u) = sup_{x ∈ K} u·x, wobei u ∈ R^n und u·x das Standardskalarprodukt ist. Damit beschreibt h_K die maximale Projektion von K in die Richtung u. Falls K unbeschränkt ist, kann h_K in Richtung einiger u auch +∞ annehmen.

Eigenschaften und Zusammenhang. Die Unterstützungsfunktion ist eine sublineare Funktion: sie ist positiv homogen und subadditiv. Ist K kompakt, dann ist h_K endlichwertig und ganzwach samt Stetigkeit über ganz R^n. Für konvexe K gilt zusätzlich, dass h_K konvex ist. Der Polarraum K° := {u ∈ R^n : h_K(u) ≤ 1} verknüpft K° eng mit h_K, da h_K derjenige Funktionswert ist, der die Bedingung u ∈ K° erfüllt. Wird K als Einheitsball einer Norm betrachtet, entspricht h_K dem Dualnormwert für die Richtung u.

Beispiele. Für die Einheitskugel B im R^n gilt h_B(u) = ||u||_2. Für das Kästchen [-1,1]^n ist h_K(u) = ∑_i |u_i|. Ist K das konvexe Hull von Punkten a_i, dann gilt h_K(u) = max_i u·a_i. Allgemein lässt sich h_K durch das Optimierungsproblem max_{x ∈ K} u·x berechnen; bei Polyhedra ergibt sich oft eine Dualformel.

Anwendungen. Unterstützungsfunktionen spielen eine zentrale Rolle in der Dualität der Optimierung, in der Berechnung von Ausdehnung (Breite) in Richtungen und in der Verbindung zu Polar- und Dualnormen. Sie ermöglichen das Studium von Formen, Minkowski-Funktionen und Eigenschaften konvexer Körper.

Siehe auch. Konvexe Analysis, Polar, Dualnorm, Minkowski-Funktion.