Unterstufenmengen

Unterstufenmengen, oft auch Sublevelsets genannt, sind in der Analysis die Mengen der Form Sα(f) = { x ∈ X | f(x) ≤ α }, wobei f eine Funktion von X in die reellen Zahlen ist und α eine reelle Zahl bezeichnet. Sie bündeln alle Punkte, an denen der Funktionswert den Schwellenwert α nicht überschreitet. Häufig werden Unterstufenmengen verwendet, um das Verhalten von Funktionen zu dokumentieren oder zu analysieren, insbesondere in der Optimierung und Geometrie.

Beispiele: Bei f(x) = x² mit X = R ist S1(f) = { x ∈ R | x² ≤ 1 } = [-1, 1]. Für α = 0 erhält man S0(f) = {0}. Allgemein wachsen Unterstufenmengen mit zunehmendem α: Wenn α1 ≤ α2, dann Sα1(f) ⊆ Sα2(f).

Wichtige Eigenschaften: Sind X topologischer Raum und f kontinuierlich, dann ist Sα(f) abgeschlossen, da die Vorabbildung von (-∞, α] unter einer stetigen Funktion abgeschlossen ist. Falls f konvex ist, sind auch die Unterstufenmengen konvex. Bei f, die nur niedrigstetig oder allgemein lower semicontinuous ist, bleiben Sα(f) jeweils abgeschlossen. Unterstufenmengen können unbeschränkt oder leer sein, abhängig von α und dem Verhalten von f.

Anwendungen: Unterstufenmengen werden in der Optimierung zur Formulierung von Nebenbedingungen verwendet (z. B. Minimierung unter der Bedingung f(x) ≤ α). Sie dienen außerdem der geometrischen Veranschaulichung von Funktionsverläufen, der Bestimmung von Näherungen oder der Untersuchung von Konvergenz- und Stabilitätsaspekten in dynamischen Systemen.

Varianten: Oberstufenmengen definieren die Menge { x ∈ X | f(x) ≥ α }. Bei mehrdimensionalen Funktionen oder Vektorwerten lassen sich entsprechend Teilmengen nach einzelnen Koordinaten oder nach einer bevorzugten Ordnung bilden.