Unterbestimmte

Unterbestimmte oder unterbestimmte Probleme bezeichnet man in der Mathematik und Informatik solche, bei denen die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Anzahl unabhängiger Gleichungen. In linearen Systemen bedeutet dies typischerweise, dass der Lösungsraum unendlich viele Lösungen enthält, sofern das System konsistent ist. Die Struktur der Lösungen lässt sich als affiner Unterraum beschreiben, dessen Dimension n minus dem Rang der Koeffizientenmatrix entspricht.

In der linearen Algebra gilt: Ein System Ax = b mit A als m × n hat unendlich viele Lösungen, wenn Rang(A) < n und das erweiterte System Rang(A | b) = Rang(A) hat. Ist das jedoch nicht der Fall (Rang(A | b) > Rang(A)), existiert keine Lösung. Beispiele verdeutlichen das: Eine einzige Gleichung mit drei Unbekannten, z. B. x + y + z = 1, ist unterbestimmt; die Lösungsmenge ist eine Ebene in R^3, parametrisiert durch zwei freie Variablen.

Lösungsstrategien und Folgen: Die allgemeinen Lösungen werden häufig durch Parametrisierung mit freien Variablen beschrieben. Man spricht vom Nullraum der Matrix A: x = x_p + Nz, wobei x_p eine Particularlösung ist und N der Basisvektorraum des Nullraums entspricht. In Anwendungen kann man zusätzlich Bedingungen hinzufügen oder Regularisierung verwenden, um eine eindeutige Lösung zu erhalten. Die Moore-Penrose-Pseudoinverse A^+ kann die kleinst-normierte Lösung liefern.

Verwendung und Kontext: Unterbestimmtheit tritt in Modellen mit zu vielen Parametern im Vergleich zu Messdaten auf, etwa in der Statistik, Systemtheorie oder Optimierung. Um Identifizierbarkeit und Eindeutigkeit zu erreichen, werden häufig zusätzliche Daten, Nebenbedingungen oder Regularisierung eingesetzt.