Unstetige

Unstetige (unstetig) beschreibt in der Mathematik eine Eigenschaft von Funktionen: Eine Funktion f ist an einer Stelle x0 unstetig, wenn sie dort nicht stetig ist. Formal gilt: Eine Funktion f mit Definitionsbereich D ist stetig an der Stelle x0, wenn lim_{x→x0} f(x) = f(x0). Ist dies nicht der Fall oder der Grenzwert existiert nicht, so ist f an x0 unstetig. Unstetigkeiten können einzeln oder an mehreren Stellen auftreten.

Typen von Unstetigkeiten

- Entfernbare Unstetigkeit: Der Grenzwert lim_{x→x0} f(x) existiert als endlicher Wert L, aber f(x0) ≠ L oder f(x0) ist definiert, obwohl der Grenzwert fehlt oder anders wäre. Durch eine Neudefinition von f(x0) auf L wird die Funktion stetig.

- Sprungunstetigkeit (Sprungstelle): Der links- und der rechtsseitige Grenzwert existieren und sind endlich, aber ungleich zueinander. Die Funktion hat an x0 einen Sprung.

- Unendliche Unstetigkeit: Mindestens einer der einseitigen Grenzwerte divergiert gegen ±∞.

- Oszillierende bzw. oscillierende Unstetigkeit: Der Grenzwert existiert nicht, weil die Funktionswerte in der Näherung von x0 unbeschränkt oder stark oszillieren (Beispiel sin(1/x) bei x→0).

Beispiele

- Heaviside-Funktion H(x) = 0 für x < 0, 1 für x ≥ 0 ist an x = 0 eine Sprungunstetigkeit.

- Die Dirichlet-Funktion, die rationalen von irrationalen x-Werten jeweils 1 bzw. 0 zuordnet, ist an jedem Punkt unstetig.

- f(x) = sin(1/x) für x ≠ 0, f(0) = 0 hat eine oszillierende Unstetigkeit bei x = 0; der Grenzwert existiert nicht.

Bedeutung

Unstetigkeiten spielen in der Analysis eine zentrale Rolle, etwa bei der Untersuchung der Stetigkeitsstruktur von Funktionen, der Integration, Grenzwertverhalten und der Approximation. Eine Funktion kann überall stetig sein außer an wenigen Punkten oder sogar an einer ganzen Menge von Punkten.