HeavisideFunktion

Die Heaviside-Funktion, auch Sprungfunktion genannt, ist eine einfache Stufenfunktion, die in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften verwendet wird, um ein Einschalten oder das Auftreten eines Signals zu modellieren. Sie ist definiert als H(t) = 0 für t < 0 und H(t) = 1 für t > 0. Der Wert bei t = 0 ist konventionsabhängig; gängig sind H(0) = 0, H(0) = 1/2 oder H(0) = 1, je nach Anwendung.

Verschiebungen der Funktion, H(t − a), modellieren Sprünge, die ab dem Zeitpunkt a eintreten. Die Funktion ist monotone wachsend, nicht stetig an der Stelle t = 0 und hat eine Sprungkante von Größe 1. Die Heaviside-Funktion dient als Modell für das Ein- oder Ausschalten in zeitabhängigen Systemen.

In vielen Anwendungen wirkt die Heaviside-Funktion als Modell eines Schalters. Ihre Ableitung existiert im klassischen Sinn nicht an t = 0, doch in der Distributionstheorie gilt dH/dt = δ(t), dem Dirac-Impuls, der die Sprungkante lokalisiert. Das Produkt H(t)·x(t) wird verwendet, um zeitabhängige Systeme zu modellieren, die erst ab dem Zeitpunkt t = 0 reagieren.

Transformationsbeispiele: Die Laplace-Transformation von H(t) ist L{H(t)} = 1/s (s > 0). In der Fourier-Transformation ergibt sich in der Verteilungstheorie eine PV(1/(iω))-Komponente zuzüglich einer δ(ω)-Komponente. Praktisch wird die Heaviside-Funktion in der System- und Regelungstheorie, Signalverarbeitung sowie bei der Lösung von Differentialgleichungen eingesetzt.

Historisch wurde die Funktion von Oliver Heaviside eingeführt, daher der Name.