Tetthetsmatrisen

Tetthetsmatrisen, även kallad täthetsmatrisen, är ett centralt begrepp inom kvantmekanik som beskriver den statistiska staten hos ett kvantsystem. Den generaliserar ett rent tillstånd, som beskrivs av en vågfunktion, till en eventuell blandning av tillstånd och används särskilt när systemet är delvis eller helt osäkert eller påverkat av omgivningen.

Definitionen ges vanligtvis som ρ = ∑ i p i |ψ i⟩⟨ψ i|, där p i är sannolikheterna för de olika renare tillstånden |ψ i⟩. För ett rent tillstånd är ρ = |ψ⟩⟨ψ|, medan blandningar ger ρ som inte är en projektor. I en given bas har ρ tydliga element ρ ij = ⟨i|ρ|j⟩; diagonalelementen ger sannolikheter för resultaten i basen, medan nondiagonala element bär på koherensinformation mellan tillstånden.

Egenskaperna hos tetthetsmatrisen inkluderar att den är Hermitesk, positiv semidefinit och har spår ett: Tr(ρ) = 1. Sekvensen av delar av systemen kan beskrivas genom partiell spårning, vilket ger reduktionen av tetthetsmatrisen för delsystemen.

Dynamik och mätningar: för slutna system följer von Neumann-ekvationen iħ dρ/dt = [H, ρ], medan öppna system ofta beskrivs med masterekvationer av Lindblad-typ. Förväntade värden beräknas som ⟨A⟩ = Tr(ρ A). Tr(ρ^2) ger mått på renhet; ρ^2 = ρ och Tr(ρ^2) = 1 gäller bara för rent tillstånd, annars är det mindre än ett.

Historik och användning: tetthetsmatrisen infördes av von Neumann och används brett inom kvantinformation, kvantoptik, koherensepåverkan, och kvantterminsprocesser där miljö och statistik är centrala.