Neumannekvationen

Neumannekvationen, ofta kallad von Neumann-ekvationen, är en grundläggande differentialekvation i kvantstatistisk mekanik som beskriver tidsutvecklingen av densitetsoperatorn ρ för ett slutet kvantsystem. Den uttrycks vanligtvis som iħ ∂ρ/∂t = [H, ρ], där H är systemets Hamiltonian och [.,.] betecknar kommutatorn mellan H och ρ.

Om systemet befinner sig i ett rent tillstånd, dvs ρ = |ψ⟩⟨ψ|, uppnås Schrödinger-ekvationen i densitetsform. Lösningen ges av ρ(t) = U(t) ρ(0) U†(t) med U(t) = exp(-iHt/ħ) när H är tidoberoende, vilket motsvarar en unitär tidsutveckling.

Egenskaperna hos Neumannekvationen är att den bevarar spåret (Tr ρ = 1), att ρ är Hermitian och positiv semidefinit, samt att ekvationen är linjär. Den beskriver en enhetlig evolution av en kvantstatistisk ensemble, dvs blandningar av tillstånd, inte bara en enskild vågfunktion.

Relation till andra bilder: I Heisenberg-bilden utvecklas operatorer enligt dA/dt = (i/ħ)[H, A], medan densitetsoperatorn följer Neumannekvationen i Schrödinger-bilden. För öppna system krävs vidare generaliseringar som Lindblads-ekvationen, som beskriver icke-enhetlig åtgärd i öppna miljöer.

Historisk bakgrund: Ekvationen är uppkallad efter John von Neumann och fungerar som kvantstatistisk motsvarighet till Liouville-ekvationen i klassisk statistik. Den utgör grunden för beskrivningar av kvantens tidsutveckling i både teoretiska och tillämpade sammanhang.