Liouvilleekvationen

Liouvilleekvationen beskriver hur en sannolikhetsdensitet ρ(q,p,t) i fasutrymmet för ett klassiskt Hamiltonianskt system utvecklas i tid. Den fångar hur sannolikheten att hitta systemet i ett visst tillstånd i fasutrymmet förändras under den Hamiltonianska flödet.

Formen av ekvationen i N frihetsgrader är: ∂ρ/∂t + Σ_i [ ∂ρ/∂q_i · ∂H/∂p_i − ∂ρ/∂p_i · ∂H/∂q_i ] = 0, där q_i och p_i är koordinaterna i fasutrymmet och H är Hamiltonianen. Ett alternativt uttryck används ibland i form av Poisson-bracketet: ∂ρ/∂t + {ρ, H} = 0.

Tolkning och betydelse: Liouvilleekvationen innebär att densiteten är konstant längs varje fasrumsbana och att volymen i fasutrymmet bevaras under den Hamiltonianska floden (Liouvilles sats). Detta är grunden för hur sannolikhetsfördelningar utvecklas i klassisk statistisk mekanik och underlättar konstruktionen av olika ensembletyper.

Relationer och tillämpningar: Ekvationen används som bas i klassisk statistik för att formulera och manipulera distributioner över fasutrymmet. Den är även en brygga till kvantens Liouville-ekvation för densitetsoperatorn i kvantmekanik och fungerar som utgångspunkt för att härleda mer praktiska kinetiska teorier, såsom Boltzmanns ekvation, under lämpliga antaganden.

Historik: Ekvationen är uppkallad efter den franska matematikern Joseph Liouville (1830-talet), som bidrog till utvecklingen av dynamiska system och bevarande av fasrumvolym inom Hamiltoniansk mekanik.