sannolikhetsdensitet

Sannolikhetsdensitet, ofta kallad täthetsfunktion, beskriver hur sannolikheten för en kontinuerlig slumpmässig variabel är fördelad längs värdemängden. För en slumpvariabel X med densitet f gäller att f(x) ≥ 0 för alla x och att integralen över hela reala linjen är 1: ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. För varje ändligt intervall [a,b] ger sannolikheten P(a ≤ X ≤ b) samma integral: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx.

Den kumulativa distributionsfunktionen F är relaterad till densiteten via F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Alltså beskriver densiteten hur sannolikheten är fördelad lokalt, medan F sammanfattar sannolikheten upp till varje noggrant valt värde.

Villkor och nyanser: f är en icke-negativ, integrerbar funktion som med Lebesgue-mätning fungerar som Radon-Nikodym-derivatan av sannolikhetsmåttet. Inte alla fördelningar har en densitet i denna mening; diskreta fördelningar beskrivs istället med en sannolikhetsmassafunktion, och det finns blandningar av diskret och kontinuerlig del.

Exempel: Normalfördelningen μ, σ har f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)). Uniform fördelning på [a,b] har f(x) = 1/(b-a) för x ∈ [a,b], annars 0. Exponentialfördelningen med parameter λ har f(x) = λ e^{-λ x} för x ≥ 0.

Multivariat densitet f_X(x) beskriver en flerdimensionell fördelning, där ∫ f_X(x) d x = 1 över R^n. Om X och Y är oberoende är den gemensamma densiteten f_X(x) f_Y(y). Förväntningar och varians beräknas ofta som E[g(X)] = ∫ g(x) f(x) dx.