Tangentialrichtungen

Tangentialrichtungen bezeichnet man die Richtungen, in denen man sich an einem Punkt einer geometrischen Figur – etwa einer Kurve, Fläche oder Mannigfaltigkeit – unmittelbar bewegen kann. Sie verlaufen tangential zur Geometrie am betrachteten Punkt und sind damit die Richtungen, in denen eine Bewegung oder Änderung ohne Verlassen des Objekts erfolgen kann.

Bei einer differenzierbaren Kurve r(t) in einem euklidischen Raum ist die Tangentenrichtung am Punkt t0 durch den Tangentialvektor r′(t0) gegeben. Ist r′(t0) ≠ 0, lässt sich eine Einheits-Tangentenrichtung T(t0) = r′(t0)/|r′(t0)| bestimmen. Beispiel: Für den Kreis r(t) = (cos t, sin t) ist r′(t) = (−sin t, cos t), die Tangentenrichtung am Punkt t0 entspricht dem Richtungsvektor dieser Ableitung.

Bei einer glatten Fläche S in R^3 liegt die Tangentenebene am Punkt p in dem durch die partiellen Ableitungen ∂S/∂u und ∂S/∂v erzeugten Raum; jeder Tangentialrichtungstort ist eine Linearkombination dieser Vektoren. Allgemeiner spricht man vom Tangentraum TpS, der aus allen Tangentenrichtungen am Punkt p besteht. In der Differentialgeometrie verallgemeinert man dieses Konzept auf Mannigfaltigkeiten, wobei TpM die Menge der Tangentialrichtungen am Punkt p ist und eine lineare Raumstruktur besitzt.

Tangentialrichtungen stehen in Beziehung zu Normalrichtungen (perpendikulär zur Tangente) und zu Größen wie Bogenlänge, Krümmung und Tangentialkomponenten von Vektoren. Anwendungen finden sich unter anderem in der Geometrie, Computergrafik (Tangent Space für Texturabbildung), Mechanik und Robotik.

Beispiele verdeutlichen, dass Tangentialrichtungen die lokale Richtung einer Bewegung oder Veränderung an einem Punkt beschreiben, ohne das Objekt zu verlassen.