Normalrichtungen

Normalrichtungen bezeichnen Richtungen, die senkrecht zu einer gegebenen Fläche oder Kurve stehen. In der Geometrie dient eine Normalrichtung dazu, die Orientierung einer Fläche zu beschreiben und senkrechte Projektionen zu ermöglichen. In der Ebene ist eine Normalrichtung senkrecht zur Tangente der Kurve; man spricht oft von einem Normalenvektor.

Für eine glatte Fläche S im dreidimensionalen Raum, definiert durch eine Funktion F(x,y,z)=0, ist der Gradientenvektor ∇F an jedem regulären Punkt senkrecht zur Fläche. Die Normalrichtung kann durch den Einheitsnormalenvektor n̂ = ∇F/|∇F| angegeben werden. Bei einer parametrisierten Fläche r(u,v) ergibt sich der Normalvektor durch das Kreuzprodukt ru × rv; der Einheitsnormalvektor erhält man durch Normierung.

Bei Kurven im Raum liefert der Normalvektor oft die Richtung der Normalen zur Kurve, wobei sich die Normalrichtung in der Ebene der Tangente befindet. In der Ebene gibt es zwei einander gegenüberliegende Normalrichtungen.

Normalrichtungen finden breite Anwendungen: In der Mechanik bestimmen Normalrichtungen die Richtung von Normal- oder Kontaktkräften; in der Strömungs- und Festkörpermechanik beschreibt man Flächenorientierung oft über Normalen; in der Computergrafik werden Normalvektoren für Beleuchtung und das Normal Mapping verwendet; in der Geometrie dienen sie zur Bestimmung der Flächenorientierung und zur Glättung.

Wichtige Randfälle sind Punkte, an denen ∇F=null oder ru × rv=null ist; dann ist die Normalrichtung nicht definiert. Normalrichtungen sind grundlegende Konzepte in Mathematik, Physik und Technik.