Einheitsnormalvektor

Einheitsnormalvektor, oft mit n̂ bezeichnet, ist ein Normalenvektor der Länge 1 zu einer gegebenen Fläche oder Kurve. Er gibt die Richtung vor, in der eine Fläche nach außen oder nach innen orientiert wird, und ist per Definition orthogonal zu allen Tangenten der betrachteten Geometrie.

Für Flächen im dreidimensionalen Raum gilt: Wenn die Fläche durch eine Gleichung F(x, y, z) = 0 beschrieben wird, ist der Gradientenvektor ∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) ein Normalenvektor der Fläche. Der Einheitsnormalvektor ist n̂ = ∇F/|∇F|, wobei die Richtung durch das Vorzeichen von ∇F festgelegt wird. Bei einer Orientierung, z. B. durch die Oberflächenorientierung, kann man die Richtung gezielt wählen.

Für eine parametrische Fläche r(u, v) ergibt sich der Normalenvektor aus dem Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen: n = ∂r/∂u × ∂r/∂v. Der Einheitsnormalvektor ist n̂ = (∂r/∂u × ∂r/∂v) / |∂r/∂u × ∂r/∂v|. Entsprechend hat er Länge 1 und steht senkrecht auf der Tangentialebene.

Beispiel: Eine Fläche beschrieben durch F(x, y, z) = z − f(x, y) = 0 hat ∇F = (−f_x, −f_y, 1). Der Einheitsnormalvektor ist n̂ = (−f_x, −f_y, 1)/√(1 + f_x^2 + f_y^2). Für eine ebene Fläche mit Normalvektor a ≠ 0 lautet der Einheitsnormalvektor n̂ = a/|a|.

In der Ebene kann man für einen Kurvennormale den Einheitsnormalvektor durch eine 90-Grad-Drehung des Einheits-Tangenten erhalten; die Länge bleibt dann 1.

Anwendungen finden sich in der Computergrafik (Beleuchtung), der Vektoranalysis (Fluxberechnungen) und der Geometrie zur Bestimmung der Oberflächenorientierung.