Tangentialkomponenten

Die Tangentialkomponenten eines Vektors beziehen sich auf die Anteile dieses Vektors, die entlang der Tangente einer Kurve oder entlang der Tangentialebene einer Fläche liegen. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Geometrie differentialer Räume, der Mechanik und der Vektoranalysis, wo eine gerichtete Decomposition von Kräften, Geschwindigkeiten oder Beschleunigungen verwendet wird.

Für eine Kurve, die durch r(t) beschrieben wird, definiert man den Einheits-Tangenten T = r'(t) / |r'(t)|. Die tangentialen und normalen Anteile eines Vektors a an einem Punkt der Kurve sind dann gegeben durch:

a_T = (a · T) T,

a_N = a − a_T.

Dabei erfasst a_T die Komponente von a in Richtung der Kurventangente, während a_N senkrecht dazu liegt und oft in Richtung der Krümmung wirkt. In der Frenet-Serret-Form Eleanor wird der Normalenanteil durch die Krümmung κ und die Normalrichtung N beschrieben.

Auf einer Fläche mit Sequenz eines Einheitsnormalenkerns n gilt: Die Tangentialkomponente eines Vektors a ist a_T = a − (a · n) n. Der Operator, der Vektoren auf die Tangentialebene projiziert, lautet P_T = I − n n^T. Entsprechend wird a in eine Komponente entlang der Tangentialebene und eine Normalkomponente zerlegt.

Anwendungen finden sich in der Kinematik (Beschleunigung a = a_T + a_N, mit a_T = dv/dt, a_N = κ v^2 N), in der Berechnung von Arbeit und Weg, sowie im Differentialgeometrie-Formalismus. Praktisch bedeutet dies, dass nur die tangentiale Komponente einer Kraft die Geschwindigkeit verändern kann, während die normale Komponente Wendungen oder Krümmungen bewirkt.