Tangentialbeziehungen

Tangentialbeziehungen bezeichnen in der Geometrie und verwandten Bereichen Berührung zwischen Objekten, bei der sie sich im Kontaktpunkt mit einer gemeinsamen Tangente berühren. Typisch ist die Beziehung zwischen einer Kurve und einer Tangente oder zwischen zwei Kurven, die im selben Punkt eine gemeinsame Tangente besitzen. Diese Art der Berührung bedeutet, dass die Objekte an diesem Punkt dieselbe Richtung teilen, ohne notwendigerweise identisch zu sein.

Formal lassen sich Tangentialbeziehungen oft through das Konzept der Tangentenrichtung beschreiben. Bei einer Kurve gegeben durch eine implizite Gleichung F(x, y) = 0 hat der Gradient ∇F(p) an einem Berührungspunkt p die Richtung der Normalen zur Kurve; die zugehörige Tangente hat dann die Gleichung ∇F(p) · (x − p) = 0. Zwei Kurven F(x, y) = 0 und G(x, y) = 0 berühren sich am Punkt p, wenn F(p) = G(p) = 0 und die Gradienten ∇F(p) und ∇G(p) linear abhängig sind. In der Geometrie höherer Ordnung beschreibt die „Kontaktordnung“ die Tiefe der Berührung; Tangente hat Kontaktordnung 1, während eine stärkere Berührung eine höhere Ordnung besitzt.

Anwendungen finden sich in der technischen Zeichnung, dem Computer-aided Design, der Optik, Robotik und der Differentialgeometrie. Auch in der Envelopes- und Tangentialflächenanalyse spielt das Verständnis von Tangentialbeziehungen eine Rolle, ebenso wie in der Theorie der Kontaktgeometrie.

Im Gegensatz zur echten Berührung kann eine Tangentialbeziehung eine gemeinsame Tangente besitzen, ohne dass die Kurven linear identisch sind. Wichtige Begriffe dazu sind Tangente, Tangentialraum und Kontaktordnung.