Kontaktgeometrie

Kontaktgeometrie ist der Zweig der Differentialgeometrie, der sich mit Kontaktstrukturen auf glatten Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension befasst. Eine Kontaktstruktur ξ ist eine hyperflächenverteilte Struktur, die lokal als Kern einer 1-Form α beschrieben wird, so dass α ∧ (dα)^n ≠ 0 gilt, wobei dim M = 2n + 1. Die Bedingung macht ξ maximal nicht-integrierbar. Die Kontaktform α bestimmt die Struktur bis auf Multiplikation mit einer nicht verschwindenden Funktion, denn ξ = ker α = ker (f α) für jede positive Funktion f.

Ein klassisches Beispiel ist der Standardkontaktstrukturraum R^{2n+1} mit α = dz − ∑_{i=1}^n y_i dx_i, wobei ξ = ker α. Die Natur der Struktur wird durch den Reeb-Vektor R charakterisiert, definiert durch α(R) = 1 und dα(R, ·) = 0.

Wichtige Konzepte sind Legendrian-Untermanifaltigkeiten, d. h. Untermanifaltigkeiten der Dimension n, deren Tangentialräume in ξ liegen. Die lokale Form von Kontaktstrukturen wird durch das Darboux-Theorem festgelegt: In jeder Punktnähe gibt es Koordinaten, in denen α die Standardform annimmt, sodass alle Kontaktstrukturen lokal äquivalent sind.

Kontaktgeometrie steht in enger Beziehung zur Symplektik durch die Symplektifikation einer Kontaktmanifaltigkeit, sowie durch globale Strukturen wie offene Buchzerlegungen in der 3. Dimension. In der drei-dimensionalen Geometrie spielt die Unterscheidung zwischen engen (tight) und überstrichenen (overtwisted) Kontaktstrukturen eine zentrale Rolle; die Giroux-Korrespondenz verbindet Kontaktstrukturen mit offenen Büchern und hat weitreichende Auswirkungen in der 3D-Topologie.

Anwendungsfelder finden sich in der dynamischen Systemtheorie, der Topologie, der Hamiltonian- bzw. Energetikrelation und der Geometrie von Phasenräumen. Geschichte und Entwicklung entstanden aus Fragen der Nicht-Integrabilität und der Geometrie von Energie- und Thermodynamik.