Stufenform

Stufenform, im Deutschen oft Row-Echelon Form (REF) genannt, ist eine kanonische Form einer Matrix, die durch das Gaußsche Eliminationsverfahren erreicht wird. Sie erleichtert das Lösen linearer Gleichungssysteme und die Bestimmung des Ranges der Matrix.

Eine Matrix befindet sich in Stufenform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: Alle Nullzeilen stehen am unteren Rand; der erste Nicht-Null-Eintrag jeder nichttrivialen Zeile (der Pivot) liegt weiter rechts als der Pivot der darüberliegenden Zeile; alle Einträge unter jedem Pivot sind Null. In dieser Form ergibt sich eine stufenartige Struktur, die das Lösen der Gleichungen vereinfacht.

Die reduzierte Stufenform oder reduzierte Zeilenstufenform (RREF) ergänzt diese Definition: Jeder Pivot ist gleich 1, und in der Pivot-Spalte stehen keine weiteren Nichtnull-Einträge. Zusätzlich müssen die Pivots in jeder Zeile eindeutig bestimmt sein und die Pivot-Spalten müssen in jeder Zeile exakt durch einen Eins-Pivot gekennzeichnet sein.

Die Herstellung einer Stufenform erfolgt durch elementare Zeilenoperationen: Zeilenvertauschung, Multiplikation einer Zeile mit einer Nicht-Null-Konstante und Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Solche Operationen verändern den Rang oder die Lösungsmenge eines Systems nicht; sie ermöglichen jedoch eine einfachere Analyse.

Anwendungen umfassen die Bestimmung von Rang, Konsistenz und Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme. Durch Erreichen der Stufenform lässt sich leicht erkennen, ob ein System unlösbar ist (Widerspruch) oder ob unendlich viele Lösungen vorliegen.

Beispiel: Die Matrix

1 2 0

0 0 1

0 0 0

ist in Stufenform, da die Nullzeile unten steht und die Pivot-Spalten in fortschreitender Reihenfolge liegen.