Solververfahren

Solververfahren umfassen Algorithmen und Verfahren zur Bestimmung von Lösungen mathematischer Probleme. Typische Aufgaben sind das Lösen von Gleichungssystemen, das Auffinden von Extrempunkten in Optimierungsmodellen und die Simulation dynamischer Prozesse durch die Numerische Integration von Differentialgleichungen. Die Wahl eines Solververfahrens hängt von Struktur, Größe, Genauigkeitsbedarf und verfügbaren Rechenressourcen ab.

Lineare Gleichungssysteme lösen sich mit direkten Methoden wie Gaußsche Elimination oder LU-/Cholesky-Zerlegung oder mit iterativen Verfahren wie Jacobi, Gauss-Seidel, Conjugate-Gradient- oder GMRES-Verfahren, insbesondere bei großen, spärlichen Matrizen.

Nichtlineare Gleichungen oder Gleichungssysteme verwenden Verfahren wie Newton-Raphson, Bisection, Sekantenmethode oder Fixed-Point-Iteration. Die Konvergenz hängt stark von der Ausgangsnäherung und der Problemstruktur ab.

Optimierung umfasst lineare Programme (Simplex- oder Interior-Point-Methoden), ganzzahlige Programme (Branch-and-Bound, Cutting-Planes) und nichtlineare Programme (gradientenbasierte Verfahren, Sequential Quadratic Programming, Interior-Point-Methoden; auch derivative-free Methoden wie Nelder-Mead). Globale Optimierung erfordert oft spezielle Strategien.

Differentialgleichungen werden mit ODE-Solvern gelöst, darunter explizite/implizite Runge-Kutta-Verfahren, Euler- und Mehrschritt-Verfahren; bei stiffness kommen spezialisierte Solver wie BDF zum Einsatz. PDEs werden typischerweise mit Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- oder Spektralmethoden diskretisiert und zeitlich mit geeigneten Integrationsverfahren behandelt.

Die Leistungsmerkmale von Solververfahren umfassen Genauigkeit, Stabilität, Konvergenzgeschwindigkeit und Speichernutzung. Praktisch stehen umfangreiche Bibliotheken wie LAPACK, PETSc oder COIN-OR zur Verfügung, die bewährte Implementierungen anbieten.