Skalarisierung

Skalarisierung bezeichnet in der Optimierung die Umwandlung eines mehrkriteriellen (Vektor-)Zielfunktionssatz in eine einzige Skalarfunktion. Dabei werden die einzelnen Teilziele linear oder nichtlinear skaliert und zu einer Summe oder einer anderen Skalierungsfunktion kombiniert. Ziel ist es, Standardmethoden der einzieligen Optimierung anwenden zu können und so Lösungen zu finden, die eine Abwägung zwischen konkurrierenden Zielen widerspiegeln. Die Skalarisierung ist eng verbunden mit der Idee der Pareto-Optimalität, da eine durch Skalierung gefundene Lösung oft als Kompromiss zwischen den Zielen interpretiert wird.

Typische Methoden umfassen die gewichtete Summe, bei der eine Gewichtung w_i die Bedeutung jedes Ziels f_i(x) widerspiegelt und man minimiere sum_i w_i f_i(x). Alternativen sind Zielvorgaben (Zielprogrammierung), die epsilon-Constraint-Methode, oder nichtlineare Skalierungsfunktionen wie die Tschebyscheff-Skalarsierung. Die Wahl der Skalierung beeinflusst, welche Bereiche des Pareto-Fronts erreichbar sind, und kann die Lösung stark abhängig von den gewählten Gewichten machen.

Eigenschaften und Grenzen: Lineare Skalarisierung ist insbesondere dann effizient, wenn der Pareto-Front konvex ist. Sie kann aber nicht alle Pareto-optimalen Punkte bei nicht-konvexen Fronten erreichen. Außerdem erfordert sie oft eine Normalisierung der Zielfunktionen, da unterschiedliche Skalen die Ergebnisse verzerren können. Die Gewichtungswerte sollten sinnvoll festgelegt werden, um Verzerrungen und Missinterpretationen zu vermeiden.

Anwendungen finden sich in Ingenieurwesen, Ressourcenallokation, Umwelt- und Wirtschaftsanwendungen sowie in der maschinellen Lern- und Entscheidungsfindung, wo mehrere Kriterien wie Kosten, Leistung, Umweltimpact oder Risiko gegeneinander abgewogen werden müssen. Die Skalarisierung bildet damit eine zentrale Technik der Mehrkriterienoptimierung.