Skalierungsfunktionen

Skalierungsfunktionen (scaling functions) spielen eine zentrale Rolle in der Wavelet- oder Mehrskalenanalyse. Eine Skalierungsfunktion φ ist eine Funktion aus L2(R), die eine zweistufige Verfeinerungsbeziehung erfüllt und damit eine hierarchische Zerlegung des Funktionsraums ermöglicht. Typisch lautet die Refinement- oder Zwei-Skalen-Gleichung: φ(t) = √2 ∑_{k∈Z} h_k φ(2t − k), wobei h_k die Koeffizienten eines sogenannten Low-Pass-Filters sind. Die Translates φ(t − k) erzeugen zusammen mit Skalenfaktoren die Unterräume V_j einer multiresolution analysis (MRA) von L2(R).

Aus der Skalierungsfunktion lässt sich das Wellenfunktion ψ ableiten, die die Details zwischen zwei aufeinanderfolgenden Skalen erfasst. In der Standarddyade lautet dazu ψ(t) = √2 ∑_{k∈Z} g_k φ(2t − k), wobei g_k die Koeffizienten eines High-Pass-Filters sind. Für orthogonale Wavelets gilt zusätzlich die Beziehung g_k = (−1)^k h_{1−k}, bekannt als Quadrature Mirror Filter (QMF)-Bedingungen. Das Paar φ, ψ erzeugt zusammen eine MRA, in der jede Ebene V_j durch Skalenfunktionen φ_{j,k}(t) = 2^{j/2} φ(2^j t − k) beschrieben wird.

Eigenschaften und Beispiele: Eine Skalierungsfunktion kann kompakt unterstützt sein, je nach Filter h_k. Die Glätte und Regularität von φ hängen von der Filtrierung ab; stärkere Glättung geht in der Regel mit größerer Trägerlänge der Filter einher. Existentielle Ergebnisse besagen, dass bei vorgegebenen endlichen Filterkoeffizienten mit den QMF-Bedingungen eine φ existiert, die eine gültige MRA erzeugt; jedoch ist φ nur eindeutig bis eine Phasenfaktorung.

Anwendungen finden sich in der Signal- und Bildverarbeitung, Datenkompression, Rauschunterdrückung und numerischer Analysis. Als bekanntes Beispiel dient die Haar-Skalierungsfunktion, deren h_k nur für k=0,1 ungleich null ist.