Skalierungsfunktion

Eine Skalierungsfunktion bezeichnet in der Mathematik und verwandten Disziplinen eine Funktion, die beschreibt, wie sich eine Größe ändert, wenn der beobachtete Maßstab variiert. Allgemein entspricht sie einer Abbildung, die Größen bei einer Maßstabsanpassung transformiert. In der Geometrie bewirkt eine Skalierung eine Größenänderung eines Objekts, während seine Form erhalten bleibt; dies erfolgt durch einen festen Skalierungsfaktor s > 0 (x' = s x) oder durch eine Skalierungsmatrix wie diag(sx, sy, sz) für nicht gleichmäßige Skalierung.

In der Wavelet-Theorie ist die Skalierungsfunktion φ (phi) ein fundamentales Baustein der Mehrauflösungsanalyse. Sie erzeugt mit Hilfe von Skalierungs- und Translationsparametern die V_j-Räume und ermöglicht die Approximation von Signalen auf verschiedenen Auflösungen. Die Skalierungsfunktion erfüllt die Refinement-Gleichung φ(x) = ∑_k h_k φ(2x − k), wobei h_k Koeffizienten des Low-Pass-Filters sind. Zusammen mit der Wavelet-Funktion ψ liefert sie ein vollständiges, multiskaliges Analysewerkzeug.

Außerhalb der Wavelet-Literatur wird der Begriff auch allgemein verwendet, um Skalierungsprozesse in der Datenverarbeitung zu beschreiben, zum Beispiel bei der Normalisierung von Merkmalen durch Min-Max-Skalierung oder Z-Standardisierung, wobei eine Skalierungsfunktion angibt, wie Werte in einen bestimmten Bereich transformiert werden. Anwendungen finden sich in der Computergraphik (Bild- und Objekt-Skalierung), der Signalverarbeitung (Zeit- oder Frequenzskalierung) und der statistischen Multiresolution-Analyse.