Singulärpunkt

Ein Singulärpunkt bezeichnet in der Mathematik einen Punkt, an dem eine Struktur nicht mehr wie gewohnt glatt oder analytisch beschrieben werden kann. Je nach Kontext wird damit ein Punkt beschrieben, an dem eine Funktion, eine Gleichung oder eine Varietät nicht den üblichen Regularitätsbedingungen genügt.

In der komplexen Analysis ist der Singulärpunkt einer holomorphen Funktion f ein Punkt z0, an dem f nicht analytisch fortsetzbar ist oder nicht definiert wird. Typen sind entfernbare Singularität, Pol und essenzielle Singularität. Entfernbare Singularität: f lässt sich so fortsetzen, dass f(z0) endlich wird. Pol: f geht in der Näherung gegen unendlich. Essenzielle Singularität: das Verhalten von f nahe z0 ist extrem unregelmäßig (im Sinne des Casorati-Weierstrass-Satzes).

In der Theorie der Differentialgleichungen bezeichnet man als Singulärpunkt einer linearen ODE einen Punkt x0, an dem der führende Koeffizient verschwindet oder die Koeffizienten nicht analytisch sind. Dort gilt oft nicht die übliche Theorie von Existenz und Eindeutigkeit. Man unterscheidet reguläre von unregelmäßigen Singulärpunkten; bei regulären Singulärpunkten lassen sich Lösungen oft durch die Frobenius-Entwicklung beschreiben.

In der algebraischen Geometrie sind Singulärpunkte Punkte einerVarietät, an denen die Abbildung der Zwillingsmengen (Ableitungen) versagen, typischerweise wenn die Jakobi-Matrix alle Einträge null hat. Typische Beispiele sind Knoten oder Kantenzügen wie der Cusps. An solchen Stellen weichen die Dimension des Tangorraums oder die lokale Struktur von der glatten Mannigfaltigkeit ab.

Beispiele helfen beim Verständnis: Die Funktion 1/z besitzt am z=0 eine Pols-Singulärität; e^{1/z} besitzt eine essenzielle Singulärität. Die Kurve y^2 = x^3 hat am Ursprung eine Singulärstelle (Knoten/Cusp je nach Form).