SchrödingerGleichungen

Die Schrödinger-Gleichung bezeichnet in der Quantenmechanik die Gleichung, die die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie trägt den Namen von Erwin Schrödinger, der sie 1926 formulierte und damit eine der Grundlagen der Wellenmechanik legte. Es gibt zwei Hauptformen: die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, die die vollständige zeitliche Entwicklung bestimmt, und die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, die stationäre Zustände beschreibt, deren Energieeigenwerte konstant bleiben.

Die zeitabhängige Gleichung lautet iħ ∂Ψ/∂t = H Ψ, wobei Ψ der Wellenfunktion und H dem Hamiltonoperator des Systems ist. Für nicht-relativistische Teilchen lautet H typischerweise H = T + V, mit T dem kinetischen Anteil und V dem Potential. In einer Dimension erhält man z. B. iħ ∂ψ(x,t)/∂t = - (ħ^2/2m) ∂^2ψ/∂x^2 + V(x,t) ψ(x,t). Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist H ψ = E ψ, was durch Separation von Variablen zu stationären Zuständen führt.

Die Wellenfunktion ψ(x,t) enthält alle Informationen über das System; die Wahrscheinlichkeitsdichte ist proportional zu |ψ|^2 und wird durch Normierung festgelegt. Das Prinzip der Superposition erlaubt beliebige lineare Kombinationen von Lösungen. Observables entsprechen Operatoren, deren Messwerte durch Projektion auf Eigenzustände bestimmt werden.

Schrödinger-Gleichungen sind zentral in der Nichtrelativistischen Quantenmechanik und werden zur Bestimmung von Atom- und Molekülstrukturen, Festkörpersystemen, Quantenwellenspielen und vielen anderen Anwendungen verwendet. Einschränkungen ergeben sich, da sie nicht relativistisch sind; relativistische Effekte erfordern weitergehende Modelle wie die Dirac-Gleichung oder die Quantenfeldtheorie.