Satzsysteme

Satzsysteme, auch axiomatische Systeme genannt, sind formale Rahmenwerke in Logik und Mathematik. Sie bestehen aus einer formalen Sprache, einer Menge von Sätzen (Axiomen) und Inferenzregeln, mit deren Hilfe neue Sätze abgeleitet werden können. Ziel ist es, mathematische Aussagen präzise zu begründen und zu zeigen, welche Aussagen aus welchen Grundannahmen folgen.

Die Grundlagen eines Satzsystems sind Syntax, Semantik und Beweisregeln. Die Sprache enthält Symbolen, Konstruktionsregeln und Sprechformen. Axiome sind Sätze, die als gegeben gelten, oft durch Axiom-Schemata festgelegt. Inferenzregeln, wie der Modus ponens, erlauben aus bereits bewiesenen Sätzen neue Sätze abzuleiten. Es gibt verschiedene Typen von Satzsystemen, etwa Hilbert-Systeme, natürliche Deduktion oder Sequentenkalkül.

Wichtige Eigenschaften sind Konsistenz (Widerspruchsfreiheit), Soundness (alle ableitbaren Sätze sind wahr in der beabsichtigten Interpretation) und Vollständigkeit (alle wahren Sätze der Sprache lassen sich ableiten). In ausreichend leistungsfähigen Systemen gilt zudem Gödel: nicht alle wahren Aussagen sind beweisbar; es gibt wahre, aber unbewiesene Sätze.

Anwendungen finden sich in der formalen Foundations der Mathematik, der Beweisführung in der Logik, der formalen Verifikation in der Informatik und im Bereich des automatisierten Beweisens. Typische Beispiele sind das Kalkül der Aussagenlogik, die erste Ordnung Logik und Arithmetiksysteme wie die Peano-Arithmetik.

Historisch entwickelte sich das Konzept im 19. und 20. Jahrhundert unter anderem bei Frege, Hilbert und Gentzen; Satzsysteme bilden bis heute einen Kernbestandteil der Beweistheorie und der formalen Grundlagenforschung.