Rotationsverfahren

Rotationsverfahren, auch als Rotation-Verfahren bekannt, bezeichnet eine Familie numerischer Algorithmen, die orthogonale Transformationen in Form von Ebenenrotationen verwenden, um eine Matrix schrittweise in eine einfachere Form zu überführen. Durch eine Folge von Drehungen werden gezielt Off-Diagonal-Elemente eliminiert oder eine Matrix in eine Diagonal- bzw. obere Dreieckform überführt. Dadurch lassen sich lineare Gleichungssysteme lösen, Eigenwerte bestimmen oder eine QR-Zerlegung durchführen.

Die bekanntesten Varianten sind Jacobi- und Givens-Rotationen. Das Jacobi-Verfahren arbeitet mit Plane-Rotationen, die auf benachbarte Koordinaten wirken und sukzessive alle Off-Diagonal-Elemente einer symmetrischen Matrix eliminieren, bis eine Diagonalform erreicht ist. Givens-Rotationen zerlegen gezielt einzelne Elemente in einer Zeile oder Spalte durch eine orthogonale Drehung, wodurch sich eine Matrix durch eine Sequenz von Rotationen in eine obere Dreiecksmatrix verwandelt, während das Gesamtquadrat Q als Produkt der Rotationen entsteht. Diese Rotationen sind jeweils nur auf zwei Koordinatenkomponenten beschränkt und lassen sich daher einfach parametrisieren (Schubwinkel bzw. Sinus und Kosinus der Rotation).

Anwendungsgebiete umfassen die QR-Zerlegung von Matrizen, die Lösung von lineareren und überbestimmten Gleichungssystemen, die Berechnung von Eigenwerten insbesondere für symmetrische Matrizen sowie Verfahren der kleinsten Quadrate. Die Verfahren bieten numerische Stabilität und lassen sich gut parallelisieren, besonders das Jacobi-Verfahren. Nachteile sind langsamer Konvergenz für große, dicht bepackte Matrizen im Vergleich zu anderen Methoden.