PlaneRotationen

Plane Rotationen sind eine Familie linearer Transformationen, die Vektoren in einer festgelegten zwei-dimensionalen Teilmenge (eine Ebene) um einen gegebenen Winkel drehen, während das orthogonale Komplement unbeeinflusst bleibt. In dem n-dimensionalen euklidischen Raum R^n wählt man zwei Koordinatenindices i und j sowie einen Winkel theta. Die Ebenenrotation R(i,j,theta) wirkt als Identität auf alle Koordinaten außer i und j, wobei die Koordinatenpaare (x_i, x_j) auf (x_i cos theta − x_j sin theta, x_i sin theta + x_j cos theta) abgebildet werden. Die entsprechende Matrix besitzt in den Positionen (i,j) eine 2×2-Rotationsblock und ist ansonsten die Identitätsmatrix.

Plane Rotationen sind orthogonale Transformationen mit Determinante 1, sie erhalten Längen und Skalarprodukte. Damit gehören sie zur Gruppe SO(n). Sie werden häufig als Givens-Rotation bezeichnet, insbesondere wenn sie in numerischen Verfahren verwendet werden, um Elemente zu eliminieren, etwa in der QR-Zerlegung.

Eine Rotation in R^n kann als Produkt mehrerer Ebene-Rotationen dargestellt werden; jede Rotation in SO(n) lässt sich durch eine Folge von Plane Rotationen in unterschiedlichen Koordinatenebenen ausdrücken.

Aus der aktiven bzw. passiven Sicht: Bei der aktiven Interpretation dreht sich der Vektor, während die Koordinatenachsen festbleiben; bei der passiven Interpretation ändern sich die Koordinaten der gleichen Vektoren durch eine Drehung der Koordinatenbasis.

Anwendungen finden sich in der numerischen Linearanalysis (QR- und Eigenwertprobleme), in der Computergrafik (zusammengesetzte Rotationen in höheren Dimensionen) sowie in der Robotik. Beispielhaft bedeutet eine 90-Grad-Rotation in der Ebene der Koordinaten 1 und 2 eine Abbildung, die diese Koordinaten gemäß [0 −1; 1 0] transformiert, während alle anderen Koordinaten unverändert bleiben.