Rotationsmethode

Die Rotationsmethode ist ein iteratives Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer reell symmetrischen Matrix. Sie nutzt orthogonale Ähnlichkeitstransformationen, die in Ebene, meist (p,q)-Rotationen, durchgeführt werden. Typischerweise werden Givens-Rotationen eingesetzt, um gezielt Off-Diagonalelemente zu nullen, während die Matrix möglichst wenig verzerrt wird. Ziel ist es, die Matrix schrittweise in eine Diagonalmatrix zu überführen; die Diagonaleneinträge konvergieren zu den Eigenwerten und die akkumulierte Produktmatrix der Rotationen liefert die Eigenvektoren.

Der Ablauf lässt sich grob wie folgt zusammenfassen: Man wählt in jedem Schritt ein Off-D-diagonalelement a_pq mit möglichst großem Betrag und bestimmt eine Rotation, die dieses Element auf Null setzt. Diese Rotation wird als ortsbezogene Ebene (p,q) angewendet und wirkt sowohl auf die Matrix als auch auf den Vektorraum, wodurch die Matrix durch eine orthogonale Ähnlichkeitstransformation A → R^T A R transformiert wird. Gleichzeitig wird die Gesamtbasis der Eigenvektoren durch die Rotation aufrechterhalten, sodass sich aus der Produktfolge der Rotationen die Eigenvektoren ergibt. Der Prozess wird fortgesetzt, bis der Betrag der Off-Diagonalelemente unter eine vorgegebene Toleranz sinkt.

Historisch wird die Methode dem französisch-deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi zugeschrieben, der im 19. Jahrhundert Grundlagen zur Diagonalisierung durch sukzessive Orthogonalisierungen entwickelte. Die praktische Implementierung mit Givens-Rotationen wurde später in der digitalen Computergeschichte weiter verbreitet und ist heute ein standardmäßiges Werkzeug in der numerischen linearen Algebra. Anwendungen finden sich in der Bestimmung der Eigenwerte von Matrizen, in der Hauptkomponentenanalyse sowie in verschiedenen technischen Bereichen wie Strukturmechanik und Vibrationsanalyse. Nachteile sind der vergleichsweise hohe Rechenaufwand bei großen dichten Matrizen im Vergleich zu moderneren Algorithmen.