Ähnlichkeitstransformationen

Der Begriff Ähnlichkeitstransformation bezeichnet in der Geometrie eine Abbildung, durch die Objekte so transformiert werden, dass ihre Form erhalten bleibt, jedoch die Größe verändert werden kann. Ziel ist es, Figuren in ähnliche Figuren zu überführen, wobei Proportionen erhalten bleiben.

In der Ebene lässt sich eine Ähnlichkeit oft als Kombination aus Skalierung, Orientierungstransformation (Drehung oder Spiegelung) und Translation beschreiben. Formal kann eine Ähnlichkeit f durch f(x) = s R x + t beschrieben werden, wobei s > 0 der Skalierungsfaktor ist, R eine Orthogonalmatrix (Drehung oder Spiegelung) und t ein Translationsvektor. Solche Abbildungen erhalten Winkel, transformieren Streckenlängen mit dem gleichen Faktor und senden Kreise auf Kreise. Folglich bleiben Längenverhältnisse und Größenverhältnisse zwischen entsprechenden Merkmalen konstant, während die absolute Größe verändert wird.

Eigenschaften und Bedeutung: Ähnlichkeitstransformationen gehören zu den Transformationsgruppen der Geometrie und charakterisieren das Konzept der Formenähnlichkeit. Sie sind stärker als allgemeine Affinitäten, aber schwächer als konkrete Kongruenz (eine Bewegung ohne Größenänderung). Sie ermöglichen es, Objekte als ähnliche Strukturen zu erkennen, unabhängig von Maßstab und Orientierung.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Computer Vision, Mustererkennung, Kartografie und grafischer Darstellung, wo Objekte in geeignete Größenordnungen übertragen oder verglichen werden müssen. Wichtig ist die Unabhängigkeit von Maßstab und Orientierung bei der Analyse von Formen.

Siehe auch: Ähnlichkeit, Skalierung, Homotheie, Transformation.